РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 630168 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 402;

Задания 18 ЕГЭ–2022;

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 405;

ЕГЭ  — 2022. Основная волна 02.06.2022. Вариант 402;

ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 404.

Классификатор алгебры: Числовые наборы на карточках и досках

Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Решение. а)  Поскольку 30 делится на $30 минус 29$ и $30 минус 28,$ а 29 делится на $29 минус 28,$ это невозможно.

б)  Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 13. Всего разных остатков 13, поэтому среди 20 чисел найдутся два числа с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 13.

в)  Рассмотрим числа 55, 57, ..., 159. Разность любых двух из них четна, а они все нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна $159 минус 55=104=2 умножить на 52,$ значит, все разности имеют вид $2n$ при $n меньше или равно 52.$ Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 53 числа.

Допустим есть пример с 54 числами (если их больше  — выкинем любые из них, оставив только 54). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел меньших 54 там быть не может, а рассуждения пункта а)  — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (54, 55), (56, 57), ..., (158, 159) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 53.

Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 53.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4