Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 624025
i

17‐го де­каб­ря 2021 года Дмит­рий Ива­но­вич пла­ни­ру­ет взять кре­дит в банке на 1 100 000 руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 3‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — c 4‐⁠го по 16‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 17‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца, с 1‐⁠го по n-⁠й, долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 17‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — к 17‐⁠му числу n‐го ме­ся­ца после по­лу­че­ния кре­ди­та долг дол­жен быть равен 380 000 руб­лей;

  — к 17‐⁠му числу (n + 1)-⁠го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те n, если из­вест­но, что общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та со­ста­вит 1 381 200 руб­лей.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть каж­дый месяц с 1‐⁠го по n-⁠й долг умень­ша­ет­ся на x тысяч руб­лей. Тогда еже­ме­сяч­ная вы­пла­та со­ста­вит x тысяч руб­лей плюс 2% от суммы те­ку­ще­го долга. За­пол­ним таб­ли­цу в со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи.

 

Номер
ме­ся­ца
Долг
после на­чис­ле­ния про­цен­тов,
тыс. руб.
Вы­пла­та,
тыс. руб.
Долг
до на­чис­ле­ния про­цен­тов,
тыс. руб.
1100=380 плюс nx
11,02 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 380 плюс nx пра­вая круг­лая скоб­ка 7,6 плюс 0,02nx плюс x380 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x
21,02 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 380 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка 7,6 плюс 0,02nx плюс 0,98x380 плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x
............
n − 11,02 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 380 плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка 7,6 плюс 1,04x380 плюс x
n1,02 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 380 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка 7,6 плюс 1,02x380
n + 11,02 умно­жить на 380 1,02 умно­жить на 3800

 

Из ра­вен­ства 1100=380 плюс nx по­лу­ча­ем, что nx=720. Найдём сумму вы­плат, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой суммы ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

B=7,6n плюс дробь: чис­ли­тель: 0,02nx плюс x плюс 1,02x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n плюс 1,02 умно­жить на 380=7,6n плюс левая круг­лая скоб­ка 0,01nx плюс 1,01x пра­вая круг­лая скоб­ка n плюс 387,6=
=7,6n плюс 0,01 умно­жить на 720n плюс 1,01 умно­жить на 720 плюс 387,6=7,6n плюс 7,2n плюс 727,2 плюс 387,6=14,8n плюс 1114,8
тыс. руб.

По усло­вию эта сумма равна 1381,2 тыс. руб. Зна­чит,

14,8n плюс 1114,8=1381,2 рав­но­силь­но 14,8n=266,4 рав­но­силь­но n=18.

Ответ: 18.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 373
Классификатор алгебры: За­да­чи о кре­ди­тах