РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 622383 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 368

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Рассматриваются непостоянные бесконечные арифметические прогрессии a₁, a₂, ..., a_n, ..., состоящие из натуральных чисел. Пусть S_n  — сумма первых n членов, S₁  =  a₁.

а)  Существует ли такая арифметическая прогрессия, что S₆  =  1980?

б)  Существует ли такая арифметическая прогрессия, что для некоторого натурального числа n имеют место равенства S_n  =  350 и S_n + 2  =  625?

в)  Сколько существует таких натуральных чисел n, для которых существует такая арифметическая прогрессия, что S_n  =  625?

Решение. Обозначим первый член прогрессии a, разность d.

а)  По формуле для суммы прогрессии получим:

$дробь: числитель: 2a плюс 5d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6=1980 равносильно 2a плюс 5d=660.$

Это возможно, например, при a  =  300, d  =  12.

б)  По формуле для суммы прогрессии получим $дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n=350,$ откуда $левая круглая скобка 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=700,$ то есть число 700 делится на n. Аналогично получим:

$дробь: числитель: 2a плюс левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка =625 равносильно левая круглая скобка 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка =1250,$

то есть 1250 делится на n + 2. Выпишем все делители числа 700:

n  =  1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 25, 28, 35, 50, 70, 100, 140, 175, 350, 700.

Увеличим их на 2, получим

n  =  3, 4, 6, 7, 9, 12, 16, 22, 27, 30, 37, 52, 72, 102, 142, 177, 352, 702.

Из них 1250 не делится ни на одно число, поэтому такое невозможно.

в)  Рассмотрим уравнение $левая круглая скобка 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=1250.$ Выпишем все делители числа $1250=2 умножить на 5 в степени 4$ :

n  =  1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250, 625, 1250.

Кроме того, при $n больше или равно 50$ имеем

$левая круглая скобка 2a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n больше или равно левая круглая скобка 2 плюс 49 правая круглая скобка умножить на 50 больше 1250,$

поэтому так много членов в прогрессии быть не может. Разберем остальные случаи и приведем примеры прогрессий там, где они есть:

n  =  1: да, прогрессия 625;

n  =  2: да, прогрессия 312, 313;

n  =  5: да, прогрессия 123, 124, 125, 126, 127;

n  =  10: да, прогрессия 58, 59, ..., 67;

n  =  25: да, прогрессия 13, 14, ..., 37.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1, 2, 5, 10, 25.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1, 2, 5, 10, 25.

622383

а)  да; б)  нет; в)  1, 2, 5, 10, 25.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 368

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	622383	а)  да; б)  нет; в)  1, 2, 5, 10, 25.