РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 10 № 621669 Добавить в вариант

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2022 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2023 по математике. Профильный уровень;

Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по математике.

Текстовые задачи. Задачи на проценты, сплавы и смеси

Весной катер идёт против течения реки в $целая часть: 1, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/⁠ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в $целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

ИЛИ

Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

ИЛИ

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/⁠ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/⁠ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?

Решение. Пусть x (км/⁠ч)  — собственная скорость катера, $y$ (км/⁠ч)  — скорость течения реки весной. Тогда летом она составит $y минус 1$ (км/⁠ч); $x больше y больше 1.$ Составим таблицу по данным задачи.

	Скорость весной	Скорость летом
По течению	$x плюс y$	$x плюс y минус 1$
Против течения	$x минус y$	$x минус y плюс 1$

Решим систему уравнений:

$система выражений дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: x минус y конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: x плюс y минус 1, знаменатель: x минус y плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно система выражений 3 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =5 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка , 2 левая круглая скобка x плюс y минус 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x минус y плюс 1 правая круглая скобка конец системы равносильно система выражений x=4y, x минус 5y= минус 5 конец системы равносильно система выражений x=20, y=5. конец системы$ $система выражений дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: x минус y конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: x плюс y минус 1, знаменатель: x минус y плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы равносильно система выражений 3 левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =5 левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка , 2 левая круглая скобка x плюс y минус 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x минус y плюс 1 правая круглая скобка конец системы равносильно$
$равносильно система выражений x=4y, x минус 5y= минус 5 конец системы равносильно система выражений x=20, y=5. конец системы$

Таким образом, скорость течения весной равна 5 км/⁠ч.

Ответ: 5.

ИЛИ

Пусть масса 45-процентного раствора кислоты  — m₁ кг, а масса 97-процентного  — m₂. Если смешать 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 62-процентный раствор кислоты: $0,45m_1 плюс 0,97m_2=0,62 левая круглая скобка m_1 плюс m_2 плюс 10 правая круглая скобка .$ Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты: $0,45m_1 плюс 0,97m_2 плюс 0,5 умножить на 10=0,72 левая круглая скобка m_1 плюс m_2 плюс 10 правая круглая скобка .$ Решим полученную систему уравнений:

$система выражений новая строка 0,45m_1 плюс 0,97m_2=0,62m_1 плюс 0,62m_2 плюс 6,2, новая строка 0,45m_1 плюс 0,97m_2 плюс 5=0,72m_1 плюс 0,72m_2 плюс 7,2 конец системы . равносильно система выражений новая строка 0,35m_2 минус 0,17m_1=6,2, новая строка 0,25m_2 минус 0,27m_1=2,2 конец системы . равносильно$ $система выражений новая строка 0,45m_1 плюс 0,97m_2=0,62m_1 плюс 0,62m_2 плюс 6,2, новая строка 0,45m_1 плюс 0,97m_2 плюс 5=0,72m_1 плюс 0,72m_2 плюс 7,2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 0,35m_2 минус 0,17m_1=6,2, новая строка 0,25m_2 минус 0,27m_1=2,2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений новая строка 35m_2 минус 17m_1=620, новая строка 25m_2 минус 27m_1=220 конец системы . равносильно система выражений новая строка m_2= дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби , новая строка 25 левая круглая скобка дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка минус 27m_1=220 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2= дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 104, знаменатель: 7 конец дроби m_1= дробь: числитель: 1560, знаменатель: 7 конец дроби конец системы равносильно система выражений новая строка m_1=15, новая строка m_2=25. конец системы .$ $равносильно система выражений новая строка 35m_2 минус 17m_1=620, новая строка 25m_2 минус 27m_1=220 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2= дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби , новая строка 25 левая круглая скобка дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка минус 27m_1=220 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка m_2= дробь: числитель: 17, знаменатель: 35 конец дроби m_1 плюс дробь: числитель: 124, знаменатель: 7 конец дроби , новая строка дробь: числитель: 104, знаменатель: 7 конец дроби m_1= дробь: числитель: 1560, знаменатель: 7 конец дроби конец системы равносильно система выражений новая строка m_1=15, новая строка m_2=25. конец системы .$