РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 620480 Добавить в вариант

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 361;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 506.

Классификатор алгебры: Системы уравнений

Методы алгебры: Перебор случаев

Задача с параметром. Системы с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений |x в квадрате минус 5x плюс 4| минус 9x в квадрате минус 5x плюс 4 плюс 10x|x|=0,x в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0 конец системы .$

имеет единственное решение.

Решение. Решим первое уравнение системы:

Рассмотрим случай $x больше или равно 0.$ Тогда

$|x в квадрате минус 5x плюс 4| плюс x в квадрате минус 5x плюс 4 плюс 10x в квадрате минус 10x в квадрате =0 равносильно$
$равносильно |x в квадрате минус 5x плюс 4|= минус x в квадрате плюс 5x минус 4 равносильно x в квадрате минус 5x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно x меньше или равно 4.$ $|x в квадрате минус 5x плюс 4| плюс x в квадрате минус 5x плюс 4 плюс 10x в квадрате минус 10x в квадрате =0 равносильно$
$равносильно |x в квадрате минус 5x плюс 4|= минус x в квадрате плюс 5x минус 4 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 5x плюс 4 меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно x меньше или равно 4.$

Рассмотрим случай $x меньше 0.$ Тогда $x в квадрате минус 5x плюс 4 больше 0$ и уравнение принимает вид

$x в квадрате минус 5x плюс 4 плюс x в квадрате минус 5x плюс 4 минус 10x в квадрате минус 10x в квадрате =0 равносильно 9x в квадрате плюс 5x минус 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . \undersetx меньше 0\mathop равносильно x= минус 1.$ $x в квадрате минус 5x плюс 4 плюс x в квадрате минус 5x плюс 4 минус 10x в квадрате минус 10x в квадрате =0 равносильно$
$равносильно 9x в квадрате плюс 5x минус 4=0 равносильно совокупность выражений x= минус 1,x= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби конец совокупности . \undersetx меньше 0\mathop равносильно x= минус 1.$

Решим второе уравнение системы:

$x в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 2 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=a,x=a минус 2. конец совокупности .$ $x в квадрате минус 2 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 2 правая круглая скобка x плюс a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=a,x=a минус 2. конец совокупности .$

Значит, исходная система равносильна системе

$система выражений совокупность выражений x= минус 1,1 меньше или равно x меньше или равно 4, конец системы . совокупность выражений a=x,a=x плюс 2, конец совокупности . конец совокупности .$

которая имеет единственное решение при $a= минус 1,$ $1 меньше a меньше 3$ и $4 меньше a меньше или равно 6.$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 6 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

620480

$левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 6 правая квадратная скобка .$

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 361;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 506.

Классификатор алгебры: Системы уравнений

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	620480	$левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 1; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; 6 правая квадратная скобка .$