РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 563922 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402;

Задания 19 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии, Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из трехзначных натуральных чисел, равен 272. Известно, что в прогрессии не меньше трех чисел.

а)  Может ли число 425 являться членом такой прогрессии?

б)  Может ли число 680 являться членом такой прогрессии?

в)  Какое наибольшее число может являться членом такой прогрессии?

Решение. Заметим, что $272 = 17 умножить на 2 в степени 4 ,$ $425 = 17 умножить на 5 в квадрате ,$ $680 = 17 умножить на 2 в кубе умножить на 5.$

а)  Да. Прогрессия 272, 340, 425 с первым членом 272 и знаменателем $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$ удовлетворяет условию задачи.

б)  Нет. Множитель 5 является простым числом, значит, число 680 может быть только вторым членом этой геометрической прогрессии. Для такой прогрессии знаменатель $q = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$ Но тогда третий член прогрессии $b_3 = 680 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби = 1700$ является четырёхзначным числом, что противоречит условию.

в)  Наибольший член данной прогрессии должен иметь вид $b_n = 17 умножить на 2 в степени m умножить на a в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ где $n \geqslant3,$ $m больше или равно 0.$ Наибольшее кратное 17 трёхзначное число равно 986. Разложим его на простые множители: $986 = 17 умножить на 2 умножить на 29$   — не подходит. Рассмотрим следующие по убыванию трёхзначные числа, кратные 17:

$969 = 17 умножить на 57 = 17 умножить на 3 умножить на 19$   — не подходит,

$952 = 17 умножить на 56=17 умножить на 2 в кубе умножить на 7$   — не подходит,

$935 = 17 умножить на 55=17 умножить на 5 умножить на 11$   — не подходит,

$918 = 17 умножить на 54=17 умножить на 2 умножить на 3 в кубе$   — подходит.

Приведём пример такой прогрессии с первым членом 272 и знаменателем $q = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби :$ 272, 408, 612, 918.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  918.

Примечание.

Другое решение пункта в) мы привели в аналогичной задаче 633396.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  918.

563922

а)  да; б)  нет; в)  918.

Источники:

ЕГЭ по математике 29.06.2021. Основная волна, резервный день. Центр. Вариант 402;

Задания 19 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии, Числа и их свойства

Методы алгебры: Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	563922	а)  да; б)  нет; в)  918.