Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 13?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 6?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр, если первая цифра данного числа равна 6?
Решение. Пусть это число состоит из цифр a, b, c, тогда оно равно 100a + 10b + c.
а) Получаем:
При 
равенство будет выполнено. Следовательно, 117 − один из возможных примеров.
б) Получаем:
Но 
следовательно, левая часть равенства не меньше 94, а правая часть не больше 45. Противоречие.
в) Имеем уравнение
требуется найти максимально возможное целое x. Рассмотрим случай 
Тогда
Исходное число не может быть равно 600, поэтому 
и минимальное возможное b, при котором x будет целым, равно 3. Тогда 
Заметим, что при 
получим 
Теперь разберём случай 
Имеем:
Аналогично предыдущему надо рассмотреть 
получим 
Далее рассмотрим случай 
Имеем:
Рассматривая 
найдем 
Осталось рассмотреть случай, когда 
и 
Из исходного соотношения получаем:
а тогда
откуда 
то есть 
Тем самым искомое наибольшее значение равно 70.
Ответ: а) да, б) нет, в) 70.
Примечание.
Другой путь решения показан нами в заданиях 563580 и 563677.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |