PDF-версии: 
Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба.
а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.
б) Найдите объем шара, если ребро куба равно 1.
Решение. а) Шар касается сторон одной из граней куба. Сечение шара плоскостью этой грани представляет собой круг, вписанный в квадрат. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в их серединах. Это и доказывает требуемое.
б) Введем обозначения так, как показано на рисунке. Введем прямоугольную систему координат с центром в вершине куба А, оси направим вдоль ребер, и пусть центр сферы имеет координаты (x0, y0, z0), а радиус сферы равен R. Тогда уравнение сферы будет
а лежащие на сфере точки 
и точка касания сферы с серединой ребра 
имеющая координаты 
удовлетворяют соответственно уравнениям:
откуда 
то есть 
Тогда объем шара равен
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |