PDF-версии: 
Точка E лежит на высоте SO, а точка F — на боковом ребре SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, причём SE : EO = SF : FC = 2 : 1.
а) Докажите, что плоскость BEF пересекает ребро SD в его середине.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью BEF, если AB = 8, SO = 14.
Решение. а) Проведём прямые EF и BF, обе они лежат в плоскости BEF. Кроме того, прямая EF также лежит в плоскости SAC и параллельна прямой AC, а, значит, пересекает ребро AS, точку пересечения назовём H. Прямая BE также лежит в плоскости SBD, а значит, пересекает ребро SD, точку пересечения назовём G. Искомое сечение — BFGH. Рассмотрим треугольник SBD. В нём SO — медиана, при этом
следовательно, E — точка пересечения медиан, а BE также медиана, G — середина SD.
б) Заметим, что треугольники BFH и GFH — равнобедренные, при этом E — середина HF, следовательно, прямые BG и HF перпендикулярны. Из подобия треугольников SAC и SHF:
BG и SO — медианы треугольника SBD, поэтому
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |