В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 18, а сторона основания AB равна 9. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.
а) Пусть сечение пирамиды плоскостью ALM пересекает ребро SC в точке K. По свойству биссектрисы
Из подобия треугольников LSM и BSD следует, что SN : ON = 2 : 1. Таким образом, N — точка пересечения медиан в треугольнике ASC, а AK — медиана. Поэтому SK = CK.
б) Поскольку диагонали сечения LM и AK перпендикулярны,
Имеем
В треугольнике ACK по теореме косинусов
Тогда 
Ответ: б) 54.