РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 561771 Добавить в вариант

Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида

Стереометрическая задача. Сечения пирамид

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно 18, а сторона основания AB равна 9. В боковых гранях SAB и SAD провели биссектрисы AL и AM соответственно.

а)  Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ALM делит ребро SC пополам.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ALM.

Решение. а)  Пусть сечение пирамиды плоскостью ALM пересекает ребро SC в точке K. По свойству биссектрисы

$дробь: числитель: SM, знаменатель: DM конец дроби = дробь: числитель: SL, знаменатель: BL конец дроби = дробь: числитель: SA, знаменатель: AB конец дроби =2.$

Из подобия треугольников LSM и BSD следует, что SN : ON  =  2 : 1. Таким образом, N  — точка пересечения медиан в треугольнике ASC, а AK  — медиана. Поэтому SK  =  CK.

б)  Поскольку диагонали сечения LM и AK перпендикулярны,

$S_ALKM= дробь: числитель: AK умножить на LM, знаменатель: 2 конец дроби .$

Имеем

$LM= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BD=6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

В треугольнике ACK по теореме косинусов

$AK в квадрате =AC в квадрате плюс CK в квадрате минус 2 умножить на AC умножить на CK умножить на косинус \angle ACK равносильно$

$равносильно косинус \angle ACK= дробь: числитель: CO, знаменатель: SC конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби равносильно AK=9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Тогда $S_ALKM=54.$

Ответ: б) 54.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) 54.

561771

б) 54.

Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Правильная четырёхугольная пирамида

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	561771	б) 54.