Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В. Точки М и N — середины рёбер АD и BC соответственно.
а) Докажите, что MN является биссектрисой угла ВМС.
б) Найдите угол между прямыми BD и MN, если 
AC = 12.
а) По теореме о трёх перпендикулярах отрезок DC перпендикулярен отрезку AC. Медиана СМ прямоугольного треугольника DCA равна половине гипотенузы DA. Медиана BМ прямоугольного треугольника ADB также равна половине гипотенузы DA. Значит, треугольник BCM равнобедренный с основанием BС. Поэтому медиана MN треугольника ВСМ является биссектрисой.
б) Пусть MЕ — перпендикуляр, опущенный из точки М на ребро АВ. Тогда MЕ — средняя линия прямоугольного треугольника ABD, значит, 
и отрезок ME параллелен отрезку DB. Так как DB — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, отрезок ME также является перпендикуляром к этой плоскости.
Точки E и N — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, значит, NE — средняя линия треугольника АВС. Поэтому 
Поскольку отрезок ME параллелен отрезку DB, угол между скрещивающимися прямыми DB и MN равен углу между пересекающимися прямыми МЕ и MN, то есть углу EMN. Из треугольника MNE находим, что
Следовательно, 
Ответ: б) 