Тип 19 № 558624 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 69?
б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?
в) Пусть k(m) — количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n2 и (n + m)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m — двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.
Решение. а) Разность этих чисел равна
Если выбрать n так, чтобы 
(то есть n = 26), то полученное число будет кратно 69, а изначальные два будут давать одинаковые остатки от деления на 69.
б) Одно из этих чисел четно, а другое нечетно. Значит, они не могут давать одинаковые остатки от деления на четное число.
в) Как и в пункте а), получим, что 
кратно 68. Если m нечетно, то это произведение двух нечетных чисел и оно не кратно 68. Пусть 
тогда
кратно 68. То есть 
кратно 17. Если x кратно 17, то все такие числа кратны 17, что нам невыгодно. Значит, n + x кратно 17. Подходящие n попадаются через каждые 17 чисел. В качестве x можно выбирать числа от 5 до 49 (поскольку 2x — двузначное число).
Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каждым остатком от деления на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, например, числа с остатком 14 (таким числом было бы 1000). Поэтому если выбрать x = 20 (то есть m = 40), то будет 52 подходящих числа.
Ответ: а) да; б) нет; в) 52.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получено обоснованное решение одного любого из пунктов а — г. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) нет; в) 52.
558624
а) да; б) нет; в) 52.
PDF-версии: