В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.
а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.
б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна 
KM = 12, NL = 8.
а) Пусть точка B — середина отрезка KL, точка C — середина отрезка NM. Заметим, что по теореме о средней линии отрезки BP и QC параллельны диагонали LN и равны её половине. Поэтому PBQC — параллелограмм. Его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, эта точка лежит на прямой KM. Обозначим эту точку A. Точки P и Q равноудалены от точки A, а значит, и от прямой KM. Таким образом, и вершины N и L равноудалены от прямой KM. Таким образом, площади треугольников NKM и KLM равны. Следовательно,
Что и требовалось доказать.
б) Имеем:
Следовательно, 
поэтому 
Отсюда, по теореме косинусов, диагонали четырехугольника PBQC равны 
Без ограничения общности можно считать, что 
Далее, по формуле площади четырехугольника
Получаем, что
Ответ: 