ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 556451 Добавить в вариант

Вася записал на листе бумаги некоторую последовательность из n чисел (n > 3), а затем продолжил её, повторив все числа ещё раз в том же порядке. Затем Вася предложил Маше сыграть в игру по следующим правилам. За один ход Маша может спросить у Васи сумму любых трёх подряд идущих чисел. Маша выигрывает, если через несколько ходов узнает все числа.

а)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  4?

б)  Может ли Маша гарантированно выиграть, если n  =  6?

в)  За какое наименьшее число ходов Маша может гарантированно выиграть, если n  =  23?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим числа, записанные Васей, через $x_1,x_2,...,x_n,x_1,x_2,...,x_n.$

а)  Может. Маша должна сначала узнать суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_2 плюс x_3 плюс x_4,$ $x_3 плюс x_4 плюс x_1,$ $x_4 плюс x_1 плюс x_2.$ Сложив эти четыре суммы, Маша получит число $3 левая круглая скобка x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4 правая круглая скобка ,$ при делении которого на 3 получается сумма $x_1 плюс x_2 плюс x_3 плюс x_4.$ Вычитая из суммы $x_1 плюс ... плюс x_4$ суммы некоторых трёх чисел, Маша узнает каждое из чисел.

б)  Не может. Например, Вася может взять в качестве исходной последовательности 2, 2, 2, 2, 2, 2 или 2, 1, 3, 2, 1, 3, и Маша не сможет различить эти два случая  — суммы любых трёх подряд идущих чисел в каждом из этих случаев равны 6.

в)  Докажем, что Маша может выиграть за 23 хода, узнав значения всех возможных сумм троек подряд идущих чисел. Сложив суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_2 плюс x_3 плюс x_4,...,$ $x_22 плюс x_23 плюс x_1,$ $x_23 плюс x_1 плюс x_2,$ Маша получит $3 левая круглая скобка x_1 плюс ... плюс x_23 правая круглая скобка .$ Складывая суммы $x_1 плюс x_2 плюс x_3,$ $x_4 плюс x_5 плюс x_6,...,$ $x_19 плюс x_20 плюс x_21,$ Маша узнает сумму всех чисел, кроме $x_22$ и $x_23.$ Вычитая из суммы $x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_23$ сумму $x_1 плюс x_2 плюс ... плюс x_21,$ Маша узнает, чему равно $x_22 плюс x_23.$ Теперь Маша может узнать $x_1,$ вычитая $x_22 плюс x_23$ из $x_22 плюс x_23 плюс x_1.$ Действуя аналогично для других чисел вместо $x_1,$ Маша узнает их все.

Теперь докажем, что Маша не может выиграть за меньшее число ходов. Для этого достаточно привести пример двух различных последовательностей $x_1,x_2,...,x_23,x_1,x_2,...,x_23$ и $y_1,y_2,...,y_23,y_1,y_2,...,y_23,$ в которых суммы всех последовательных троек чисел равны, кроме одной. Без потери общности можно считать, что

$x_21 плюс x_22 плюс x_23 не равно y_21 плюс y_22 плюс y_23.$

В качестве $x_1,x_2,...,x_23$ и $y_1,y_2,...,y_23$ можно взять $x_i=0 левая круглая скобка i=1,...,23 правая круглая скобка$ и $\underbrace минус 1, минус 1,2,..., минус 1, минус 1,2,_ минус 1, минус 1,2повторяется 7 раз минус 1.$

В первой последовательности все суммы нулевые, тогда как во второй $y_21 плюс y_22 плюс y_23=3.$

Ответ: а) Может; б) не может; в) 23.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 556342: 556451 Все

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии, Числа и их свойства, Числовые наборы на карточках и досках

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь