Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 556034
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0,8x в квад­ра­те плюс 8y в квад­ра­те минус 16a левая круг­лая скоб­ка x минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 15a в квад­ра­те минус 48y минус 50a плюс 72=0 конец си­сте­мы .

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­де­лим в урав­не­нии си­сте­мы пол­ные квад­ра­ты:

8x в квад­ра­те минус 16ax плюс 8a в квад­ра­те плюс 8y в квад­ра­те плюс 16ay плюс 8a в квад­ра­те минус a в квад­ра­те минус 48y минус 50a плюс 72=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 8 левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 8 левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 48 левая круг­лая скоб­ка y плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 72 минус a в квад­ра­те минус 2a=0.

Ещё раз вы­де­лим пол­ный квад­рат:

8 левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 8 левая круг­лая скоб­ка y минус 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус a в квад­ра­те минус 2a=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус 3 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Урав­не­ние опре­де­ля­ет окруж­ность с цен­тром левая круг­лая скоб­ка a;3 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Не­ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0 опре­де­ля­ет вер­ти­каль­ную по­ло­су минус 2 мень­ше или равно x\leqslant1.

На ри­сун­ке видно, что един­ствен­ное ре­ше­ние по­лу­ча­ет­ся в двух слу­ча­ях.

1.  Окруж­ность ка­са­ет­ся по­ло­сы внеш­ним об­ра­зом. Это про­ис­хо­дит тогда и толь­ко тогда, когда центр рас­по­ло­жен вне по­ло­сы, а её ра­ди­ус равен рас­сто­я­нию от цен­тра до бли­жай­шей гра­ни­цы по­ло­сы:

си­сте­ма вы­ра­же­ний a мень­ше минус 2, левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1, левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс 2a, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , конец си­сте­мы .

от­ку­да

си­сте­ма вы­ра­же­ний a мень­ше минус 2,a плюс 2= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец си­сте­мы . или си­сте­ма вы­ра­же­ний a боль­ше 1,7a в квад­ра­те минус 18a плюс 8=0. конец си­сте­мы .

Пер­вая си­сте­ма имеет ре­ше­ние a = минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . Вто­рая си­сте­ма имеет ре­ше­ние a = 2 .

2.  Окруж­ность пре­вра­ща­ет­ся в точку и при этом при­над­ле­жит по­ло­се:

си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2 мень­ше или равно a\leqslant1,a в квад­ра­те плюс 2a=0 конец си­сте­мы . от­ку­да со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a=0,a= минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; минус 2;0;2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ре­ше­нии до­пу­ще­на вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка или оно не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен ответ, но в ходе ре­ше­ния до­пу­ще­на одна ошиб­ка, от­лич­ная от вы­чис­ли­тель­ной 2
По­лу­че­ны не­ко­то­рые вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, од­на­ко ре­ше­ние со­дер­жит более одной ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 555972: 556034 Все

Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026