В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.
а) Докажите, что BM = MK.
б) Найдите площадь треугольника OMK, если OM = 9 и BK = 10.
а) Угол AOK — центральный угол, опирающийся на дугу AK, а угол ABK — вписанный угол, опирающийся на дугу AK, следовательно, 
Во второй окружности углы AOK и AМK являются вписанными, опирающимися на дугу AK, следовательно, 
Получаем, что 
Рассмотрим треугольник BMK. По теореме о внешнем угле треугольника
Отсюда следует, что MB = MK.
б) Поскольку MB = MK, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BK. Отрезки OB и OK равны как радиусы окружности, поэтому точка O также лежит на указанном серединном перпендикуляре. Следовательно, OM — серединный перпендикуляр к отрезку BK, а значит,
Ответ: 22,5.