PDF-версии: 
В окружности с центром O проведена хорда AB, на которой выбрана точка M. Вторая окружность, описанная около треугольника MAO, повторно пересекает первую окружность в точке K.
а) Докажите, что BM = MK.
б) Найдите площадь треугольника OMK, если OM = 9 и BK = 10.
Решение. а) Угол AOK — центральный угол, опирающийся на дугу AK, а угол ABK — вписанный угол, опирающийся на дугу AK, следовательно,
Во второй окружности углы AOK и AМK являются вписанными, опирающимися на дугу AK, следовательно, 
Получаем, что 
Рассмотрим треугольник BMK. По теореме о внешнем угле треугольника
Отсюда следует, что MB = MK.
б) Поскольку MB = MK, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BK. Отрезки OB и OK равны как радиусы окружности, поэтому точка O также лежит на указанном серединном перпендикуляре. Следовательно, OM — серединный перпендикуляр к отрезку BK, а значит,
Ответ: 22,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |