РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Про число А известно, что оно не является 2020‐й степенью натурального числа и имеет ровно 2020 различных делителей, включая его самого и единицу.

а)  Может ли А быть кубом целого числа?

б)  Может ли А быть четвертой степенью целого числа?

в)  Найдите наименьшее значение А.

Решение. Напомним, что если число раскладывается на произведение степеней простых сомножителей как $p_1 в степени левая круглая скобка k_1 правая круглая скобка p_2 в степени левая круглая скобка k_2 правая круглая скобка \ldots p_n в степени левая круглая скобка k_n правая круглая скобка ,$ то количество его делителей равно $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка .$ Отметим, что $2020=2 в квадрате умножить на 5 умножить на 101.$

а)  Возьмем полный куб $левая круглая скобка 2 в кубе умножить на 3 в степени левая круглая скобка 67 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе = 2 в степени 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 201 правая круглая скобка .$ Это число имеет $левая круглая скобка 9 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 201 плюс 1 правая круглая скобка =2020$ делителей.

б)  Если бы число было полной четвертой степенью, то все числа $k_1, k_2, \ldots$ были бы кратны 4, а потому $левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка k_2 плюс 1 правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка k_n плюс 1 правая круглая скобка$ было бы произведением нечетных чисел и, следовательно, нечетным числом. Но 2020 четно.

в)  Число $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7$ подходит. Докажем, что это наименьшее подходящее число. Очевидно, если поменять местами два простых основания степени в разложении числа, то меньше будет тот вариант, где меньшее простое возводится в бОльшую степень. Затем заменим меньшее простое на 2, следующее  — на 3 и так далее.

Если использовать в качестве степени двойки число, большее 100 (но такое, чтобы 2020 делилось на $k плюс 1$ ), то число будет равно как минимум

$2 в степени левая круглая скобка 201 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 81 умножить на 35.$

С другой стороны, минимум одно из чисел вида $k плюс 1$ в формуле для чиcла делителей должно быть кратно 101, и оно явно будет самым большим из множителей. Значит, в состав числа обязательно следует взять $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$ Тогда остальные множители должны давать выражение, равное 20. Возможны следующие варианты: $3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка ,$ $3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 5,$ $3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 в кубе ,$ $3 в степени 4 умножить на 5 умножить на 7.$ Последнее число меньше прочих:

$3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 3 в степени 9 умножить на 5=3 в степени 4 умножить на 3 в степени 5 умножить на 5 больше 3 в степени 4 умножить на 25 умножить на 5=3 в степени 4 умножить на 5 в кубе больше 3 в степени 4 умножить на 35=3 в степени 4 умножить на 5 умножить на 7.$ $3 в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка больше 3 в степени 9 умножить на 5=3 в степени 4 умножить на 3 в степени 5 умножить на 5 больше 3 в степени 4 умножить на 25 умножить на 5=$
$=3 в степени 4 умножить на 5 в кубе больше 3 в степени 4 умножить на 35=3 в степени 4 умножить на 5 умножить на 7.$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7.$

Примечание.

Условие о том, что число не является 2020 степенью, не пригодилось. Если бы число А было можно было представить в виде $A=n в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка ,$ оно имело бы минимум 2021 делитель ( $1, n, n в квадрате , \ldots, n в степени левая круглая скобка 2020 правая круглая скобка$ ) или было бы равно 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение пункта а; ―  обоснованное решение пункта б; ―  оценка в пункте в; ―  пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	552936	а)  да; б)  нет; в)   $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 5 умножить на 7.$

Ключ