PDF-версии: 
Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 6, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 5. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 4 : 3. Ребро 
Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
б) Найдите площадь сечения α.
Решение. а) Пусть точка N — середина ребра АС, прямая BN пересекает плоскость α в точке H, a SO — высота пирамиды SABC. Поскольку пирамида SABC правильная, точка пересечения медиан треугольника АВС совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBN. Следовательно, плоскость SBN перпендикулярна плоскости АВС.
Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей
Рассмотрим треугольник АВС. Пусть L — такая точка на отрезке AM, что прямые LN и СМ параллельны, а H1, — точка пересечения прямых BN и СМ. Тогда отрезок LN — средняя линия треугольника ACM. Следовательно,
Получаем:
Таким образом, прямая СМ делит отрезок BN в таком же отношении, что и плоскость α, значит, плоскость α содержит точку С.
б) Из доказанного в пункте а следует, что искомое сечение — треугольник СКМ. В треугольнике SOB имеем:
По теореме косинусов в треугольнике BCM имеем:
Отрезок KH перпендикулярен плоскости ABC, а значит, и прямой CM. Следовательно, он является высотой треугольника CKM. Площадь треугольника CKM равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |