PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Решение. а) Пусть SO — высота пирамиды SABCD. Из условия следует, что BK = 6, а BM = 3. Пусть K' — точка пересечения CM и BD. В треугольнике BCM имеем: BM = 3, BC = 4. Следовательно, CM = 5. Отрезок BK' — биссектриса в этом треугольнике, значит,
откуда 
Пусть BK' = x, применим теорему косинусов:
Корень 
является посторонним, поскольку 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда
Тогда треугольники BKK' и BSO подобны. Таким образом, KK' параллельна SO, а значит, плоскость CKM cодержит прямую KK', перпендикулярную ABC. Следовательно, плоскости CKM и ABC перпендикулярны.
б) Прямая KK' перпендикулярна плоскости ABC, поэтому она является высотой пирамиды BCKM с основанием BCM. Площадь треугольника BCM равна 6. Найдем KK':
Тогда объем пирамиды BCKM равен
Ответ: б) 
Примечание: Отрезок BK'может быть найден из более простых соображений. Заметим, что треугольники BK'M и CK'D подобны с коэффициентом подобия 
При этом 
откуда 
Можно по предложению Альберта Власова воспользоваться формулой длины биссектрисы прямоугольного треугольника CBM: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |