Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д16 C5 № 544277
i

В июле пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 1,6 млн руб­лей на не­ко­то­рый срок (целое число лет). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 12,5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга

  — в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль

преды­ду­ще­го года.

Чему будет равна общая сумма вы­плат после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та, если наи­боль­ший го­до­вой пла­теж в 2 раза боль­ше наи­мень­ше­го?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть кре­дит взят на n лет, сумма кре­ди­та равна S  =  1,6 млн руб. По­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент равен

k=1 плюс дробь: чис­ли­тель: 12,5, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби =1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

 

Номер
года
Долг в ян­ва­ре
(с уче­том про­цен­тов),
млн руб.
Платёж,
млн руб.
Долг в июле
(после пла­те­жа),
млн руб.
S
1k умно­жить на S левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =S минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
2k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
............
n минус 1k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: n конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби
nk умно­жить на дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби  левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби 0= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби

 

Наи­боль­шим яв­ля­ет­ся пер­вый платёж, наи­мень­шим  — по­след­ний, тогда

 левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Найдём n:

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но n=10.

Сум­ми­ру­ем все вы­пла­ты:

B =\undersetпер­вая вы­пла­та\mathop левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс \undersetвто­рая вы­пла­та\mathop левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс ... плюс \underset левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус я вы­пла­та\mathop левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс \undersetn минус я вы­пла­та\mathop левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби =

= n умно­жить на дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс \undersetсумма арифм. про­грес­сии\mathop дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S плюс левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: n конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на n= S плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка S, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Под­ста­вим чис­ло­вые зна­че­ния:

B =1,6 плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 10 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 1,6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1,6 плюс 1,1=2,7 млн руб.

Ответ: 2,7 млн руб.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли и по­лу­чен ре­зуль­тат:

– не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки;

– вер­ный ответ, но ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но

2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель, ре­ше­ние све­де­но к ис­сле­до­ва­нию этой мо­де­ли, при этом ре­ше­ние может быть не за­вер­ше­но1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 311. (Часть C)