Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 3 № 54213

 

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 90 плюс 45 корень из 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

 

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 плюс корень из 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

r= дробь: числитель: a плюс b минус c, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2a минус a корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: a левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус корень из 2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби =1.

 

Ответ: 1.

 

Приведём другое решение.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его удвоенной площади к периметру. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Тем самым, для катетов a=b=2 плюс корень из 2 и гипотенузы с= корень из a в квадрате плюс b в квадрате =a корень из 2 имеем:

r= дробь: числитель: 2S, знаменатель: P конец дроби = дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 2a плюс a корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка 2 плюс корень из 2 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 плюс корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 плюс корень из 2, знаменатель: 2 плюс корень из 2 конец дроби =1.