Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 537137

Химический комбинат получил заказ на изготовление этилового спирта, соляной кислоты и дистиллированной воды. Для готовой продукции потребовалась 21 железнодорожная цистерна. При перекачивании были использованы три специализированных насоса: сначала первый насос наполнил четыре цистерны этиловым спиртом, затем второй насос наполнил шестнадцать цистерн соляной кислотой и в завершение третий насос наполнил одну цистерну дистиллированной водой. Найдите минимально возможное время, затраченное на перекачивание всех продукции, если известно, что суммарная производительность всех насосов равна семи цистернам в сутки.

Спрятать решение

Решение.

Введём следующие обозначения: производительность первого насоса x цистерн/сутки, второго насоса — y цистерн/сутки, а третьего — z цистерн/сутки, где x больше 0;y больше 0;z больше 0. Тогда

x плюс y плюс z = 7.

Требуется найти наименьшее значение выражения t= дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби . Домножим обе части этого выражения на x плюс y плюс z, получим:

t левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс z правая круглая скобка ,

7t=4 плюс дробь: числитель: 4y}x плюс дробь: числитель: 4z}x плюс дробь: числитель: 16x, знаменатель: y конец дроби плюс 16 плюс дробь: числитель: 16z, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: x конец дроби , знаменатель: z конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: y конец дроби , знаменатель: z конец дроби плюс 1 =

=21 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 4y}x плюс дробь: числитель: 16x, знаменатель: y конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 4z}x плюс дробь: числитель: x, знаменатель: z конец дроби правая круглая скобка плюс левая круглая скобка дробь: числитель: {, знаменатель: 1 конец дроби 6z, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: y конец дроби , знаменатель: z конец дроби правая круглая скобка =

=21 плюс 8 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: y, знаменатель: 2x конец дроби плюс дробь: числитель: 2x, знаменатель: y конец дроби правая круглая скобка плюс 2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2z}x плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2z конец дроби правая круглая скобка плюс 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 4z, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: y конец дроби , знаменатель: 4z конец дроби правая круглая скобка .

Заметим, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит, 7t больше или равно 21 плюс 8 умножить на 2 плюс 2 умножить на 2 плюс 4 умножить на 2, откуда t\geqslant7. Следовательно, время, затраченное на перекачивание всей продукции, не может быть меньше 7 суток.

Покажем, что оценка является точной: при x=2;y=4;z=1 выполняется равенство x плюс y плюс z = 7, а требуемое время

t= дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: z конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби =7.

Ответ: 7 суток.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307. (Часть C)