Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 527209
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: \ctg x минус тан­генс x, зна­ме­на­тель: 3 синус x плюс ко­си­нус 2x конец дроби =\ctg2x.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби , зна­ме­на­тель: 3 синус x плюс ко­си­нус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x синус x конец дроби , зна­ме­на­тель: 3 синус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби , зна­ме­на­тель: 3 синус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: синус 2x конец дроби .

От­сю­да видим, что если  ко­си­нус 2x=0 и x лежит в об­ла­сти опре­де­ле­ния урав­не­ния, то оно под­хо­дит. Кроме того  синус 2x не равно 0. Учи­ты­вая эти усло­вия, пре­об­ра­зу­ем даль­ше:

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 синус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x конец дроби =1 рав­но­силь­но 3 синус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x=2 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x минус 3 синус x плюс 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Итак,  синус x=1,  синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби или  ко­си­нус 2x=0, при этом  синус 2x не равно 0 и 3 синус x плюс 1 минус 2 синус в квад­ра­те x не равно 0.

Пер­вый ва­ри­ант от­па­да­ет (для таких x будет  ко­си­нус x=0 и по­это­му  синус 2x=0). Вто­рой дает x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, а тре­тий  — 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, то есть x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Эти на­бо­ры удо­вле­тво­ря­ют всем огра­ни­че­ни­ям.

б)  С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни. На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат:  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,  минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 244
Классификатор алгебры: Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла