PDF-версии: 
Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 6, BC = 8 и AS = 
Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — точка O, центр его основания. OM
BC по теореме о трех перпендикулярах, поэтому SM BC и угол между SM и ABC равен углу SMO. Этот же угол является углом между прямой OM и плоскостью SBC. Угол между прямой AB и SBC такой же, поскольку прямые OM и AB параллельны.
б) Обозначим искомый угол 
тогда
где h — расстояние от точки A до плоскости SBC. O — середина AC, поэтому расстояние от точки O до плоскости SBC равно 
Это расстояние — 
и 
поэтому
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |