PDF-версии: 
Окружность, вписанная в ромб ABCD , касается сторон CD и BC в точках M и Q соответственно. Прямые AM и BC пересекаются в точке P.
а) Докажите, что 
б) Найдите угол 
если 
и 
Решение. а) Обозначим 
Треугольники CMP и DMA подобны с коэффициентом подобия 
поэтому
Тогда
Следовательно, 
б) Пусть O — центр окружности радиуса r, вписанной в ромб. Тогда OM — высота прямоугольного треугольника COD, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
Значит, высота ромба равна 
Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую 
Тогда AH — высота ромба, поэтому
Из подобия треугольников CMP и DMA находим, что
Значит,
Из прямоугольного треугольника AHP находим, что
Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта а) Григория Осокина.
Заметим, что 
поскольку треугольники BAQ и ADM равны по двум сторонам и углу между ними. Углы DAM и BPA равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BP и AD секущей AP. Тогда 
Следовательно, треугольники BAQ и BAP подобны по двум углам, значит,
Тогда 
поскольку BC = AB.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |