PDF-версии: 
Окружность, касающаяся сторон AB и BC треугольника ABC, пересекает сторону AC в точках M и P, причем 
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) Найдите радиус окружности, если 
а центр окружности лежит на высоте к стороне BC.
Решение. а) Пусть N и Q — точки касания окружности со сторонами AB и BC. Пусть
По теореме о секущей и касательной,
отсюда 
Заметим, что 
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, 
и треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть AQ — высота треугольника ABC, 
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла. Значит, точка O лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, биссектриса угла B перпендикулярна стороне AC, и тогда O — точка пересечения высот треугольника ABC, то есть 
Обозначим 
— радиус окружности. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACQ и ABQ. Из 
Из 
отсюда 
Треугольники AON и ABQ подобны по двум углам. Значит, 
или
Выразим r из этого уравнения, зная, что 
:
Ответ: 
Приведём другое решение пункта б).
По свойству секущей и касательной к окружности имеем:
По теореме Пифагора для треугольника ACQ имеем:
Вновь воспользуемся свойством секущих:
где r — искомый радиус,
откуда 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |