№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 19 № 526680

Квадратное уравнение {{x} в степени 2 } плюс px плюс q=0 имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть q = 34. Найдите все возможные значения p.

б) Пусть p плюс q = 22. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть q в степени 2 минус p в степени 2 =2812. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим корни данного уравнения за x_1,x_2. По теореме Виета x_1 умножить на x_2=34. Разложить число 34 на два натуральных множителя можно только двумя способами: 34=1 умножить на 34=2 умножить на 17. Получаем, что x_1 плюс x_2=35 или x_1 плюс x_2=19. Отсюда по теореме Виета получаем, что p= минус 35 или p= минус 19.

б) Получаем уравнение  минус (x_1 плюс x_2) плюс x_1x_2=22. Отсюда 1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=23 равносильно (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=23. (x_1 минус 1) и (x_2 минус 1) — целые неотрицательные числа, поэтому x_1 минус 1=1, x_2 минус 1=23 (или наоборот). В любом случае q=x_1x_2=48.

в) q в степени 2 минус p в степени 2 =(q минус p)(q плюс p)=(x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2)(x_1x_2 минус x_1 минус x_2)=2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37. Числа q минус p и q плюс p отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того q минус p больше q плюс p, поэтому остаются такие варианты:

1. x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;

2. x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.

Рассмотрим первый случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=1407, (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=3. Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=75, (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=39. Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

 

Ответ: а) −35, −19; б) 48; в) 4 и 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в2
Верно получены результаты пунктов а или б.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4