РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 526680 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 503 (Часть 2);

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Квадратное уравнение $x в квадрате плюс px плюс q=0$ имеет два различных натуральных корня.

а)  Пусть $q = 34.$ Найдите все возможные значения p.

б)  Пусть $p плюс q = 22.$ Найдите все возможные значения q.

в)  Пусть $q в квадрате минус p в квадрате =2812.$ Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Решение. а)  Обозначим корни данного уравнения за $x_1,x_2.$ По теореме Виета $x_1 умножить на x_2=34.$ Разложить число 34 на два натуральных множителя можно только двумя способами: $34=1 умножить на 34=2 умножить на 17.$ Получаем, что $x_1 плюс x_2=35$ или $x_1 плюс x_2=19.$ Отсюда по теореме Виета получаем, что $p= минус 35$ или $p= минус 19.$

б)  Получаем уравнение $минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка плюс x_1x_2=22.$ Отсюда $1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=23 равносильно левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =23.$ $левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка$   — целые неотрицательные числа, поэтому $x_1 минус 1=1,$ $x_2 минус 1=23$ (или наоборот). В любом случае $q=x_1x_2=48.$

в)   $q в квадрате минус p в квадрате = левая круглая скобка q минус p правая круглая скобка левая круглая скобка q плюс p правая круглая скобка = левая круглая скобка x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1x_2 минус x_1 минус x_2 правая круглая скобка =2812=4 умножить на 703=4 умножить на 19 умножить на 37.$ Числа $q минус p$ и $q плюс p$ отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, $q минус p больше q плюс p,$ поэтому остаются такие варианты:

1.   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1406, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;$

2.   $x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=74, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=38.$

Рассмотрим первый случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =1407, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =3.$ Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: $левая круглая скобка x_1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 плюс 1 правая круглая скобка =75, левая круглая скобка x_1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x_2 минус 1 правая круглая скобка =39.$ Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

Ответ: а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены результаты пунктов а, б, в.	4
Верно получены результаты пунктов (а или б) и в.	3
Верно получены результаты пунктов (а и б) или в.	2
Верно получены результаты пунктов а или б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

526680

а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.

Источники:

ЕГЭ по математике 24.06.2019. Основная волна, резервный день. Вариант 503 (Часть 2);

Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019.

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526680	а)  −35, −19; б)  48; в)  4 и 14.