PDF-версии: 
а) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что десятичная запись числа n2 + 2n оканчивается всеми цифрами
б) Может ли такое число оканчиваться цифрой 3?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа
Решение. а) Например, число 9.
б) Предположим, что n = 10k + 3. Тогда
то есть десятичная запись числа n2 + 2n оканчивается цифрой 5. Значит, такое невозможно.
в) Запишем условие задачи в таком виде: 
преобразуем:
то есть 
Заметим, что n и n + 1 не могут одновременно делиться на 2 и не могут одновременно делиться на 5. Значит, один из множителей делится на 54 и один из множителей делится на 24. Эти два множителя могут совпадать только в том случае, если число n + 1 делится на 10000, а число n четырёхзначное, то есть n = 9999.
Если n ≠ 9999, мы должны подобрать два числа, одно из которых делится на 16, а другое — на 625 и одно из которых больше другого
Переберём нечётные четырёхзначные числа, кратные числу 625: 1875, 3125, 4375, 5625, 6875, 8125, 9375. Из них только число 9375 имеет вид 16k − 1, а чисел вида 16k + 1 среди них нет.
Значит, искомое число может равняться 9375 или 9999.
Ответ: а) 9; б) нет; в) 9375; 9999.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а, б и в | 4 |
| Получены верные обоснованные ответы в пунктах а и б, либо получены верные обоснованные ответы в пунктах а и в | 3 |
| Получен верный обоснованный ответ в пункте б, пункты а и в не решены, либо получен верный обоснованный ответ в пункте в, пункты а и б не решены | 2 |
| Приведён пример в пункте а, пункты б и в не решены | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |