PDF-версии: 
В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждые из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество чисел меньше, чем в предыдущий день.
а) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 8. Может ли n быть больше 7?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 4, среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4,5?
в) Известно, что 
Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?
Решение. а) Сумма натуральных чисел, записанных в первый день, равна 8. Следовательно, чисел, записанных в первый день, не более 8. Тогда в день n (
) записанных чисел не более 1. И это число заведомо больше 8 (поскольку сумма чисел с каждым днем увеличивается). Противоречие с условием (все записанные числа должны быть меньше 6).
б) Рассмотрим допустимую условиями конфигурацию (без учета среднего значения за все дни):
1 день: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3
2 день: 5 5 5 5 5 5 5 5 3 1
3 день: 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Действительно, среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, очевидно, меньше 4. В каждый последующий день чисел записано меньше, чем в предыдущий. А также сумма чисел, записанных в каждый последующий день, больше, чем в предыдущий. Очевидно, что если продолжать приписывать столбец (4 5 5) слева, то эти условия не нарушатся. Можно получить, скажем, такой пример:
1 день: 100 четверок и 1 тройка
2 день: 98 пятерок, 1 тройка и 1 единица
3 день: 99 пятерок
Среднее арифметическое всех этих чисел, очевидно, больше 4,5.
в) Предположим, что в последний (четвертый) день записано одно число. Тогда в первый день записано не менее четырех чисел. Следовательно, в первый день сумма чисел не меньше 4. А в четвертый, соответственно, сумма чисел не меньше 7. Но в четвертый день записано ровно одно число. Противоречие с тем, что максимальное возможное число меньше 6.
Мы показали, что в четвертый день записано как минимум два числа. Тогда в третий день записано как минимум три числа, во второй день как минимум четыре числа, в первый день как минимум пять чисел. Всего на доске как минимум четырнадцать чисел. Такое, действительно, может быть:
1 день: 1 1 1 1 1
2 день: 3 1 1 1
3 день: 5 1 1
4 день: 5 5
Ответ: а) нет; б) да; в) 14.
Приведем другое решение.
а) В первый день записано не более 8 чисел, поэтому на восьмой день (если он есть) будет записано не более одного числа, причем оно должно быть больше суммы чисел в первый день, что невозможно.
б) Да, например, если в первый день записаны двадцать четверок и тройка, во второй день — восемнадцать пятерок и две двойки, в третий день — девятнадцать пятерок. Тогда среднее за первый день составит 
а за все дни 
в) Сумма чисел в первый день не меньше 4, поэтому в последний день не меньше 
Значит, в последний день выписаны минимум два числа, а всего минимум 
чисел. Это возможно, например, для таких наборов:
— в первый день 1, 1, 1, 1, 1;
— во второй день 1, 1, 2, 2;
— в третий день 1, 3, 3;
— в четвертый день 3, 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |