PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём 
и 
Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и СQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если 
а 
Решение. а) Прямая CP — биссектриса угла ACB, поэтому
Прямая CQ — биссектриса угла NCM, поэтому 
Следовательно, 
Что и требовалось доказать.
б) Запишем равенство 
с помощью формулы площади как половины произведения сторон на синус угла между ними: 
тогда 
Аналогично 
Отрезок PQ — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника QCP, поэтому 
Ответ: б) 
Примечание Дмитрия Гущина.
Доказательство утверждения из пункта а) удобно провести, используя свойство поворота. Действительно, треугольник MCN получен из треугольника АСВ поворотом вокруг точки С на 90° против часовой стрелки. При этом повороте биссектриса СР переходит в биссектрису CQ. Следовательно, угол между ними равен 90°.
Задания, решаемые при помощи поворотов, нередки на ЕГЭ. См., например, задания 517479 (2017 год), 517502 (2017 год), 519659 (2018 год) или задачу 530911 из варианта Александра Ларина № 296 (2020 год).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |