PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD точки K и M — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой AD.
а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью α — квадрат.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если 
Решение. а) Пусть точки P, E, N — середины рёбер BC, AC и BD соответственно. ME — средняя линия
следовательно, 
Аналогично 
Следовательно, 
Значит, точки N, K, M, E лежат в одной плоскости, причём эта плоскость параллельна прямой AD. Значит, это и есть плоскость α.
Тетраэдр правильный, поэтому 
(как средние линии равных правильных треугольников). Значит, KNME — ромб.
Далее, 
Следовательно, 
(соответственные медианы этих треугольников). 
поэтому ромб KNME является также прямоугольником. Следовательно, KNME — квадрат.
б) Площадь квадрата KNME находится по формуле 
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |