PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.
б) Найдите расстояние между прямыми
Решение. а) Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Таким образом, прямые
что и требовалось доказать.
б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников 
Из равенства 
следует, что
Проведём SH и АH, и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.
Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.
Заметим, что AR : RH = AK : KB = 2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.
Тогда 
Заметим, что 
где O — основание высоты пирамиды, тогда
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |