PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — делит сторону AB в отношении 
считая от вершины A, точка K — делит сторону BC в отношении считая от вершины C. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость 
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости 
если известно, что 
Решение. а) Заметим, что
поэтому треугольники PBK и ABC подобны, а тогда PK || AC. Поскольку плоскость проходит через прямую PK, параллельную плоскости ASC, пересекает ASC по прямой, параллельной PK. Пусть эта прямая пересекает SA и SC в точках M и L соответственно. Тогда прямые PK, AC и LM параллельны.
Кроме того, по условию, 
поэтому прямые MP и LK параллельны SB, а значит, параллельны между собой. Тогда в четырёхугольнике LMKP противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, сечение — параллелограмм.
Скрещивающиеся рёбра правильной пирамиды взаимно перпендикулярны, поэтому перпендикулярны соответственно параллельные им прямые LM и LK. Тем самым, стороны сечения перпендикулярны, следовательно, сечение — прямоугольник. Это и требовалось доказать.
б) Пусть H — середина AC. Проведём SH и BH и пусть плоскость SHB пересекает по прямой QR. Тогда QR || SB, а расстояние от точки S до плоскости равно d(SB, QR) — расстоянию между параллельными прямыми SB и QR. Найдем его.
В треугольнике SHB длина 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора из треугольников BHT и SHT получаем: 
Тогда 
По условию, 
поэтому 
а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |