PDF-версии: 
В пирамиде SABC известны длины рёбер: 
а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна прямой BC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.
Решение. а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Тем самым, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.
б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией SА на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.
Заметим, что 
а 
Пусть точка М делит ребро SN на отрезки x и 
Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:
Тогда 
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |