СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525748

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 1, AM + PN = 3 .

Решение.

а) Обозначим Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MO и NO — биссектрисы внешних углов при вершинах M и N треугольника MCN. Значит, а так как CO — биссектриса угла ACP, получаем, что

Следовательно,

б) Луч MO — биссектриса угла AMN, поэтому Значит, треугольник AOM равнобедренный, AM = AO. Аналогично PN = OP.

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r, а полупериметр треугольника ABC равен p. Точка O лежит на основании AP трапеции AMNP, поэтому высота трапеции равна r. Тогда

 

Поскольку получаем, что p = 7, а периметр равен 14.

 

Ответ: б) 14.


Аналоги к заданию № 525729: 525748 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники