Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 525748

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке K. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP треугольника и пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что угол MOC равен углу NOK.

б) Найдите периметр треугольника ABC, если отношение площадей трапеции AMNP и треугольника ABC равно 2:7, MN = 1, AM + PN = 3 .

Решение.

а) Обозначим \angle ACB = \alpha. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MO и NO — биссектрисы внешних углов при вершинах M и N треугольника MCN. Значит, \angle MON = 90 в степени circ минус дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 , а так как CO — биссектриса угла ACP, получаем, что \angle OCK = дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 ,\angle COK=90 в степени circ минус дробь, числитель — \alpha, знаменатель — 2 = \angle MON.

Следовательно, \angle MOC = \angle MON минус \angle CON = \angle COK минус \angle CON = \angle NOK.

б) Луч MO — биссектриса угла AMN, поэтому \angle AOM =\angle NMO = \angle AMO. Значит, треугольник AOM равнобедренный, AM = AO. Аналогично PN = OP.

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r, а полупериметр треугольника ABC равен p. Точка O лежит на основании AP трапеции AMNP, поэтому высота трапеции равна r. Тогда

S_{AMNP} = дробь, числитель — AP плюс MN, знаменатель — 2 умножить на r = дробь, числитель — (AO плюс OP) плюс MN, знаменатель — 2 умножить на r = дробь, числитель — (AM плюс PN) плюс MN, знаменатель — 2 умножить на r = 2r,

S_{ABC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (AB плюс BC плюс AC) умножить на r=pr.

 

Поскольку  дробь, числитель — S_{AMNP}, знаменатель — S_{ABC }= дробь, числитель — 2r, знаменатель — pr = дробь, числитель — 2, знаменатель — p = дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 , получаем, что p = 7, а периметр равен 14.

 

Ответ: б) 14.


Аналоги к заданию № 525729: 525748 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники