СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 524078

У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

а) Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 7 г?

б) Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?

в) Известно, что среди грузиков Вовы самый лёгкий грузик имеет массу 2 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Решение.

а) Если у Вовы есть грузики массами 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г и 8 г, то условия задачи выполнены. Действительно, пусть выбраны грузики массами a и b граммов, . Если и то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами и граммов. Если то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами и граммов. Если и то эти грузики уравновешиваются грузиком массой 7 г. Если и то эти грузики уравновешиваются грузиком массой 8 г. Если и то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами 3 г, 4 г и 7 г. Наконец, если и то эти грузики уравновешиваются грузиками с массами 4 г, 5 г и 6 г.

б) Пусть у Вовы есть грузики массами (в граммах) a, b, c, d, e, причём и условия задачи выполнены. Грузики массами d и e можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит, Аналогично грузики массами c и e можно уравновесить только тремя оставшимися грузиками. Значит, Вычитая левые и правые части двух полученных равенств, получаем Отсюда и мы приходим к противоречию.

в) Очевидно, что количество грузиков у Вовы не может равняться трём или четырём. По доказанному в пункте б у Вовы не может быть меньше 6 грузиков.

Предположим, что самые лёгкие шесть грузиков Вовы — это грузики массами (в граммах) 2, a, b, c, d, e, причём и условия задачи выполнены.

Допустим, что самый тяжёлый грузик весит 7 г. Тогда у Вовы есть ровно шесть грузиков с массами 2, 3, 4, 5, 6, 7 г. Но в этом случае остальными грузиками нельзя уравновесить грузики массами 6 и 7 г. Значит, самый тяжёлый грузик весит не меньше 8 г.

Приведём пример подходящего набора: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 г. Докажем, что любую пару грузиков можно уравновесить набором оставшихся. Пусть выбраны грузики массами a и b граммов, Если и то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами и граммов. Если то уравновесить эти грузики можно двумя грузиками с массами и граммов. Для оставшихся пар выполняются равенства

 

Ответ: а) Да, например, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г, 7 г и 8 г; б) нет; в) 8.


Аналоги к заданию № 524056: 524078 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки