РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70%  — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект  — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение. Пусть сумма находящихся в банке средств клиентов составляет S денежных единиц. Банк получит наименьшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся минимальными, а выплаты клиентам максимальными. Величина минимальных доходов составляет

$0,3S умножить на 1,32 плюс 0,7S умножить на 1,22 минус S=0,396S плюс 0,854S минус S=0,25S.$

Выплата клиентам по высшей ставке (20%) составляет 0,2 . Следовательно, наименьшая возможная чистая прибыль равна

$дробь: числитель: 0,25S минус 0,2S, знаменатель: S конец дроби умножить на 100\%=0,05 умножить на 100\%=5\%.$

Банк получит наибольшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся максимальными, а выплаты клиентам минимальными. Величина максимальных доходов составляет

$0,3S умножить на 1,37 плюс 0,7S умножить на 1,27 минус S=0,411S плюс 0,889S минус S=0,3S .$

Выплата клиентам по низшей ставке (10%) составляет 0,1 . Поэтому наибольшая возможная чистая прибыль равна

$дробь: числитель: 0,3S минус 0,1S, знаменатель: S конец дроби умножить на 100\%=0,2 умножить на 100\%=20\%.$

Ответ: 5%; 20%.

Примечание.

Эта задача, взятая нами из вариантов А. Ларина № 93 и № 239, впервые, по-видимому, была предложена на вступительном экзамене по математике для поступающих на отделение менеджмента экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в июле 1997 года. Составляя парную задачу к этой, авторы, по всей вероятности, допустили ошибку, распространенную потом при цитировании в методических публикациях. Интересующемуся читателю рекомендуем самостоятельно решить эту (несложную) задачу, а затем проверить себя.

Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60%  — проект Y. Проект Х может принести прибыль в размере от 19% до 24% годовых, а проект Y  — от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможные уровни процентной ставки, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.

Решение и комментарии приведены в задании 621856.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ключ