ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521919 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

$3a левая круглая скобка a минус 7 правая круглая скобка минус 8 левая круглая скобка a минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant левая круглая скобка 8x в квадрате минус 16x правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка минус 3ax в квадрате плюс 6ax$

имеет решения на промежутке $левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство

$3ax в квадрате минус 6ax плюс 3a в квадрате минус 21a меньше или равно левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8x в квадрате минус 16x плюс 8a минус 56 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3a левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс a минус 7 правая круглая скобка меньше или равно 8 левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс a минус 7 правая круглая скобка .$

Если $x в квадрате минус 2x плюс a минус 7=0$ имеет корни на промежутке $левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка ,$ то в этом корне получаем $0 меньше или равно 0,$ что верно. Поскольку $x в квадрате минус 2x$ принимает на данном промежутке значения в промежутке $левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка ,$ нам нужно, чтобы $7 минус a принадлежит левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка ,$ то есть $a принадлежит левая квадратная скобка 4; 7 правая круглая скобка .$

Если же оно корней не имеет, то его знак постоянный (при $a больше или равно 7$ положительно, при $a меньше 4$ отрицательно) и на эту скобку можно сократить.

При $a больше или равно 7$ имеем $3a меньше или равно 8 левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка .$ Правая часть принимает значения на промежутке $левая квадратная скобка 12;16 правая круглая скобка ,$ поэтому неравенство имеет решения при $a меньше дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби .$

При $a меньше 4$ имеем $3a больше или равно 8 левая круглая скобка 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка ,$ это не может быть верно, правая часть не меньше $12,$ а левая  — не больше.

Ответ: $левая квадратная скобка 4;7 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 238

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь