ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 521666 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 8 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 корень 3 степени из: начало аргумента: 1 плюс 2x конец аргумента , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Домножая неравенство на 3, получим $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби .$ Перенесем все в одну часть и сделаем рационализацию при условиях $x больше 0, x не равно 1.$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 в квадрате x минус логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 плюс 2x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: x плюс 2x в квадрате минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0,$ $равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 минус 2x правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 2x в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 2x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x плюс 2x в квадрате минус 1, знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0,$

откуда $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 223

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства смешанного типа, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь