ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 521501 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате плюс 16 правая круглая скобка минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 7 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену переменной $t=7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка больше 0,$ тогда неравенство примет вид:

Это неравенство определено при $t принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3, плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Преобразуем неравенство:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка t минус 1 конец дроби больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$

$левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 7 в степени 7 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 7 в степени 7 правая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно$ $левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате больше левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 7 в степени 7 t минус 2 правая круглая скобка в квадрате больше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 7 в степени 7 правая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс 7 в степени 7 правая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени 7 минус 1 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка t минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 в степени 7 плюс 1 конец дроби правая круглая скобка меньше 0 равносильно t принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени 7 минус 1 конец дроби , дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 в степени 7 плюс 1 конец дроби правая круглая скобка .$

Откуда, учитывая ограничения получаем:

$t принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно минус x в квадрате } принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность , минус 16 правая круглая скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$ $t принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно 7 в степени левая круглая скобка минус x в квадрате правая круглая скобка принадлежит левая круглая скобка 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус x в квадрате } принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность , минус 16 правая круглая скобка равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 217

Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Неравенства рациональные относительно показательной функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.4 Логарифмические неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь