Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 521337

а)  Пусть произведение восьми различных натуральных чисел равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Найдите наибольшее значение  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби .

б) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби равняться 210?

в) Пусть произведение восьми натуральных чисел (не обязательно различных) равно А, а произведение этих же чисел, увеличенных на 1, равно В. Может ли значение выражения  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби равняться 63?

Спрятать решение

Решение.

Для каждого выбранного числа n в дробь  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби попадет множитель  дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби . Функция f левая круглая скобка n правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: n конец дроби убывает.

 

а) Очевидно следует взять самые маленькие числа. Тогда получим  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби = левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \ldots левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка =9.

 

б) Если все числа сделать равными 1 получим  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби =256. Если же хоть одно из них не единица, то

 дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 плюс 1 правая круглая скобка в степени 7 умножить на левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =192 меньше 210.

в) Да, например для набора 1,1,1,1,2,2,2,6 имеем  дробь: числитель: B, знаменатель: A конец дроби = дробь: числитель: 2 в степени 4 умножить на 3 в кубе умножить на 7, знаменатель: 2 в кубе умножить на 6 конец дроби =63.

 

Ответ: а) 9; б) нет; в) да.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 201.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства