ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521238 Добавить в вариант

Дана последовательность $левая круглая скобка a_n правая круглая скобка = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка умножить на n умножить на левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 133.$

а)  Найдите два соседних члена этой последовательности, разность которых равна 29700.

б)  Найдите сумму всех n, при каждом из которых 1033 < a_n < 1000033.

в)  Найдите все члены этой последовательности, являющиеся точными кубами.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

$a_n минус a_n минус 1= левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 133 минус левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n минус 133=3 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка n=29700 равносильно$

$равносильно n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =9900 равносильно n=100.$

Ясно, что при бо́льших n выражение $n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ будет больше, а при меньших  — меньше, поэтому других ответов нет.

б)  Отметим сразу, что последовательность возрастает (все три множителя положительны и возрастают). Имеем:

$1033 меньше n в кубе минус n плюс 133 меньше 1000033$

$900 меньше n в кубе минус n меньше 999900$

Ясно, что

$9 в кубе минус 9 меньше 900 меньше 10 в кубе минус 10 меньше 11 в кубе минус 11\ldots меньше 99 в кубе минус 99 меньше 100 в кубе минус 100=999900,$ $9 в кубе минус 9 меньше 900 меньше 10 в кубе минус 10 меньше 11 в кубе минус$
$минус 11\ldots меньше 99 в кубе минус 99 меньше 100 в кубе минус 100=999900,$

поэтому нам подходят $n принадлежит левая квадратная скобка 10;99 правая квадратная скобка .$ Их сумма равна:

$дробь: числитель: 10 плюс 99, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 90=4905.$

в)  Допустим $n в кубе минус n плюс 133=a в кубе .$ Если $n меньше 133,$ то $a в кубе больше n в кубе ,$ откуда:

$a в кубе больше или равно левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка в кубе =n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 3n плюс 1.$

Значит,

$n в кубе минус n плюс 133 больше или равно n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 3n плюс 1 равносильно 3n в квадрате плюс 4n минус 132 меньше или равно 0 равносильно n принадлежит левая фигурная скобка 1,2,3,4,5,6 правая фигурная скобка .$ $n в кубе минус n плюс 133 больше или равно n в кубе плюс 3n в квадрате плюс 3n плюс 1 равносильно$
$равносильно 3n в квадрате плюс 4n минус 132 меньше или равно 0 равносильно n принадлежит левая фигурная скобка 1,2,3,4,5,6 правая фигурная скобка .$

Проверим эти значения. Имеем:

$a_1=133,$ $a_2=139,$ $a_3=157,$ $a_4=193,$ $a_5=253,$ $a_6=343=7 в кубе .$

Если $n больше 133,$ то $a в кубе меньше n в кубе ,$ откуда

$a в кубе меньше или равно левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в кубе =n в кубе минус 3n в квадрате плюс 3n минус 1.$

Значит,

$n в кубе минус n плюс 133 меньше или равно n в кубе минус 3n в квадрате плюс 3n минус 1 равносильно 3n в квадрате минус 4n плюс 134 меньше или равно 0,$

это невозможно. Если $n=133,$ то $a=133.$

Ответ: а) $a_100 минус a_99$ б) $4905$ в) $a_133$ и $a_6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 192

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь