Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 521230
i

Дана по­сле­до­ва­тель­ность левая круг­лая скоб­ка a_n пра­вая круг­лая скоб­ка : a_n=n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25.

а)  До­ка­жи­те, что при любом на­ту­раль­ном n верно ра­вен­ство a_n плюс 2=2a_n плюс 1 минус a_n плюс 2.

б)  Опре­де­ли­те, сколь­ко че­ты­рех­знач­ных чисел со­дер­жит эта по­сле­до­ва­тель­ность.

в)  Най­ди­те все члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, яв­ля­ю­щи­е­ся точ­ны­ми квад­ра­та­ми.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Под­став­ляя в фор­му­лу, по­лу­ча­ем:

левая круг­лая скоб­ка n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25=2 левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка n плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка n левая круг­лая скоб­ка n плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но n в квад­ра­те плюс 5n плюс 6 плюс 25=2 левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те плюс 3n плюс 2 плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка n в квад­ра­те плюс n плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но n в квад­ра­те плюс 5n плюс 31=2n в квад­ра­те плюс 6n плюс 54 минус n в квад­ра­те минус n минус 25 плюс 2.

Что верно.

б)  Ясно, что по­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет.

a_30=30 умно­жить на 31 плюс 25=955 мень­ше 1000,

 

a_31=31 умно­жить на 32 плюс 25=1017 боль­ше 1000,

 

a_99=99 умно­жить на 100 плюс 25=9925 мень­ше 10000,

 

a_100=100 умно­жить на 101 плюс 25=10125 боль­ше 10000,

по­это­му че­ты­рех­знач­ны­ми будут an при n при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 31;99 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то есть 99 минус 31 плюс 1=69 чисел.

в)  Пусть n в квад­ра­те плюс n плюс 25=a в квад­ра­те . Ясно, что a боль­ше или равно n плюс 1. Раз­бе­рем ва­ри­ан­ты.

Если a=n плюс 1, по­лу­ча­ем n в квад­ра­те плюс n плюс 25=n в квад­ра­те плюс 2n плюс 1, n=24;

Если a=n плюс 2, по­лу­ча­ем n в квад­ра­те плюс n плюс 25=n в квад­ра­те плюс 4n плюс 4, n=7;

Если a=n плюс 3, по­лу­ча­ем n в квад­ра­те плюс n плюс 25=n в квад­ра­те плюс 6n плюс 9, n\not при­над­ле­жит N ;

Если a=n плюс 4, по­лу­ча­ем n в квад­ра­те плюс n плюс 25=n в квад­ра­те плюс 8n плюс 16, n\not при­над­ле­жит N ;

Если a боль­ше или равно n плюс 5, то a в квад­ра­те боль­ше или равно n в квад­ра­те плюс 10n плюс 25 боль­ше n в квад­ра­те плюс n плюс 25.

 

Ответ: б) 69; в) a_7=81иa_24 = 625.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 191
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025