Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 521116

На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22.

а)  Из этих карточек взяли две (с числами а и b) и составили неправильную дробь  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби . Какое наименьшее число могло получиться?

б)  Из этих карточек составили 11 дробей. Могла ли их сумма иметь целое значение?

в)  Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могли иметь целое значение?

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку a больше или равно b плюс 1, то  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби больше или равно дробь: числитель: b плюс 1, знаменатель: b конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби b плюс 1 больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 21 конец дроби плюс 1, поскольку в знаменателе не должно стоять число 22. Итак, ответ  дробь: числитель: 22, знаменатель: 21 конец дроби .

б)  Составим дроби так  дробь: числитель: 22, знаменатель: 11 конец дроби плюс дробь: числитель: 14, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 18, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: 20, знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: 21, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 19, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 4 конец дроби   — целое, поскольку все слагаемые целые, а кроме того  дробь: числитель: 6, знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 17, знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби =9.

в)  Использовать числа 17, 13, 19 в знаменателях нельзя, а в числителях  — только если знаменатель равен 1. Такая дробь всего одна, остальные два числа испортят минимум одну дробь. Пример для 10 дробей возможен  — в примере пункта б заменим последние три дроби на  дробь: числитель: 16, знаменатель: 8 конец дроби ,  дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 конец дроби ,  дробь: числитель: 17, знаменатель: 13 конец дроби .

 

Ответ: а)  дробь: числитель: 22, знаменатель: 21 конец дроби ; б) да; в) 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства