Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521115

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

 логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени x минус a правая круглая скобка =0

имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству |x минус 2|\leqslant1.

Спрятать решение

Решение.

Нас интересуют корни на промежутке  левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка , при этом x=1 и x=2 запрещены по ОДЗ логарифма. Получаем уравнение:

4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус a=1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 12 умножить на 2 в степени x =4 плюс 4a равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 6 правая круглая скобка в квадрате =40 плюс 4a.

На указанном промежутке функция y=2 в степени x минус 6 принимает значения от −4 невключительно до 2 включительно, причем не принимает значения −2. Значит,  левая круглая скобка 2 в степени x минус 6 правая круглая скобка в квадрате принимает по одному разу значения 0 и из промежутка  левая квадратная скобка 4; 16 правая круглая скобка и по два раза значения из  левая круглая скобка 0; 4 правая круглая скобка . Поэтому либо 40 плюс 4a=0, a= минус 10, либо 4 меньше или равно 40 плюс 4a меньше или равно 16, откуда a принадлежит левая квадратная скобка минус 9; минус 6 правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка минус 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 9; минус 6 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром