ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 521115 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых уравнение

$логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени x минус a правая круглая скобка =0$

имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству $|x минус 2|\leqslant1.$

Спрятать решение

Решение.

Нас интересуют корни на промежутке $левая квадратная скобка 1; 3 правая квадратная скобка ,$ при этом $x=1$ и $x=2$ запрещены по ОДЗ логарифма. Получаем уравнение:

$4 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус a=1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 12 умножить на 2 в степени x =4 плюс 4a равносильно левая круглая скобка 2 в степени x минус 6 правая круглая скобка в квадрате =40 плюс 4a.$

На указанном промежутке функция $y=2 в степени x минус 6$ принимает значения от −4 невключительно до 2 включительно, причем не принимает значения $−2.$ Значит, $левая круглая скобка 2 в степени x минус 6 правая круглая скобка в квадрате$ принимает по одному разу значения 0 и из промежутка $левая квадратная скобка 4; 16 правая круглая скобка$ и по два раза значения из $левая круглая скобка 0; 4 правая круглая скобка .$ Поэтому либо $40 плюс 4a=0,$ $a= минус 10,$ либо $4 меньше или равно 40 плюс 4a меньше или равно 16,$ откуда $a принадлежит левая квадратная скобка минус 9; минус 6 правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка минус 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка минус 9; минус 6 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь