ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521091 Добавить в вариант

а)  Существует ли шестизначное натуральное число, произведение цифр которого равно 1080?

б)  Существует ли десятизначное натуральное число, произведение цифр которого равно 1080?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, произведение цифр которого равно 1080.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например 566 611.

б)  Да, например 5 666 111 111.

в)  Одна из цифр числа обязательно 5. Остальные дают в произведении 216, поэтому их не меньше трех. Значит, число не менее чем четырехзначное. Если одна из этих цифр равна 1 или 2, то произведение остальных двух больше 100, что невозможно. Значит, все эти цифры не меньше 3. Если одна из них равна трем, то произведение остальных двух равно 72, поэтому они сами  — 8 и 9.

Итак, если число четырехзначное и в нем есть тройка, то его цифры 5, 3, 8, 9. Минимальное такое число 3589. Любое другое будет иметь либо больше цифр, либо не тройку на первом месте, поэтому будет больше.

Ответ: а) да; б) да; в) 3589.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 174

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь