а) Каждая точка плоскости окрашена в один из двух цветов. Обязательно ли на плоскости найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга ровно на 1 м?
б) Каждая точка прямой окрашена в один из 10 цветов. Обязательно ли на прямой найдутся две точки одного цвета, удаленные друг от друга на целое число метров?
в) Какое наибольшее количество вершин куба можно покрасить в синий цвет так, чтобы среди синих вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник?
а) Да. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 метр. Две его вершины покрашены в один цвет.
б) Да. Возьмем 11 точек, расположенных через 1 метр. Какие-то две из них одного цвета, а расстояние между любыми двумя точками целое.
в) Можно покрасить в синий все вершины одной грани, их 4. Поскольку любые три точки из набора 
C, 
образуют правильный треугольник, среди них не более двух синих. Аналогично среди остальных вершин не более двух синих, поэтому всего синих не более четырех.
Ответ: а) да; б) да; в) 4.