PDF-версии: 
а) Приведите пример натурального числа, которое в 15 раз больше суммы своих цифр.
б) Существует ли натуральное число, которое в 21 раз больше суммы своих цифр?
в) Найдите все натуральные числа, которые в 15873 раза больше суммы своих цифр.
Решение. а) Заметим, что 
поэтому годится, например, число 135.
б) Заметим, что 
поэтому годится, например, число 378.
в) Обозначим сумму цифр числа n за 
Получим уравнение: 
или 
Заметим, что n делится на 3, значит, и 
делится на 3 по признаку делимости. Таким образом, n делится на 9, значит, по признаку делимости, 
При 
и 
получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если 
то 
и 
При 
получаем числа, не удовлетворяющие условию. Если 
то 
— семизначное число, однако сумма цифр семизначного числа не может быть равна 
то есть верно неравенство 
Посмотрим, что происходит при увеличении x на единицу. Сумма цифр увеличивается на 9, то есть количество разрядов числа n увеличивается хотя бы на 1. А 
увеличивается на 142857, то есть не может увеличиться больше чем на разряд. Таким образом, если при каком-то x выполняется неравенство 
то и при увеличении x это неравенство останется справедливым.
Значит, единственным решением будет число 428571.
Ответ: а) 135; б) да; 378; в) 428571.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: ― обоснованное решение п. а; ― обоснованное решение п. б; ― обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е; ― оба набора задуманных чисел в п. в. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |